上确界的数学定义

大前天晚上在搞高数，看到个例题，给出上确界的数学定义。

众所周知，在实数集中，设$$E$$为非空实数集，$$\exists M \in R,\forall x \in E, x \leq M$$,则$$M$$是$$E$$的一个上界。

既然描述中用了一个上界，证明肯定不止一个上界，毕竟比只要$$\exists A \in R$$，满足$$M < A$$，就能说明$$A$$也是$$M$$的上界。

所以这就有了本章的标题，上确界——一个集合的最小上界。

用口语很简单，所有上界中，最小的那个就是上确界。

但数学是精密的，怎么能用如此儿戏的语言呢？然后，数学界就向我展示了他的niubility。

设$$E$$为非空实数集，$$\exists \alpha \in R$$，满足：
1.$$\forall x \in E, x \leq \alpha$$
2.$$\forall \delta > 0, \exists x_i \in E,x_i > \alpha \- \delta$$

那么，$$\alpha$$就是$$E$$的上确界，又称之为$$sup(E)$$。

下确界同理。

这个第二点，十分精准的定义了啥叫再小一点点就不是了，叹为观止。

仿佛又回到了两年前、五年前和七年前，唉，时光荏苒，我该回去了。