HDU-2512 一卡通大冒险（集合划分）
HDU-2512 一卡通大冒险（集合划分）
[TOC]
Problem Description
因为长期钻研算法， 无暇顾及个人问题，BUAA ACM/ICPC 训练小组的帅哥们大部分都是单身。某天，他们在机房商量一个绝妙的计划"一卡通大冒险"。这个计划是由wf最先提出来的，计划的内容是，把自己的联系方式写在校园一卡通的背面，然后故意将自己的卡"遗失"在某处（如水房，TD，食堂，主M。。。。）他们希望能有MM看到他们遗失卡，能主动跟他们联系，这样就有机会请MM吃饭了。他们决定将自己的一卡通夹在基本相同的书里，然后再将书遗失到校园的各个角落。正当大家为这个绝妙的计划叫好时，大家想到一个问题。很明显，如果只有一张一卡通，那么只有一种方法，即，将其夹入一本书中。当有两张一卡通时，就有了两种选择，即，将两张一卡通夹在一本书里，或者分开夹在不同的书里。当有三张一卡通时，他们就有了5种选择，即：
{{A},{B},{C}} , {{A,B},{C}}, {{B,C},{A}}, {{A,C},{B}} ,{{A,B,C}} 于是，
这个邪恶计划的组织者wf希望了解，如果ACM训练对里有n位帅哥（即有N张一卡通），那么要把这些一卡通夹到书里有多少种不同的方法。
Input
包含多组数据，第一行为n，表示接下来有n组数据。以下每行一个数x，表示共有x张一卡通。（1≤x≤2000）.
Output
对每组数据，输出一行：不同的方法数，因为这个数可能非常大，我们只需要它除以1000的余数。
Sample Input
4
1
2
3
100
Sample Output
1
2
5
751
题目的作者
BUAA Campus 2007
解题思路
题目大意，求$$n$$元集合的划分数。
可以这么说，将$$ n $$个不同的球，放入$$ m $$个相同的盒子中，不能出现空盒。不同的放球方法则对应不同的划分数。
首先观察题面里的 3 元集合例子，最多可以分成 3 个不同的子集，记为 $$ m (1 \le m \le n)$$。
设$$f[n][m]$$为$$n$$个元素划分成$$m$$个不同子集的方案数。
显而易见，$$f[n][1]=1$$，$$f[n][m]=1$$。
除了这两种情况之外，$$f[n][m]$$可以表示为以下两种情况的结合：
- 向$$n-1$$个元素划分成的$$m$$个集合里面添加一个新的元素，则有$$m*f(n-1,m)$$种方法；
- 向$$n-1$$个元素划分成的$$m-1$$个集合里，重新添加一个由一个元素形成的新的集合，则有$$f(n-1,m-1)$$种。
即
$$f[n][m]=f(n-1,m-1)+m*f(n-1,m)$$
第二类 Stirling 数。
然后递推公式就出来了。